课前慎思
“3的倍数特征” 是新世纪小学数学（北师大）五上第di三单元中的内容，这zhe一课编排在"2，5的倍数特征” 之后。学习 2，5的倍数特征时，学生经历了观察、猜测ce、分析、验证等deng方法探究特征的de过程，具有了一定的认ren知经验，教材的编排pai仍然借助百数表让学xue生探究3的倍数特征，希xi望继续发展分析xi、比较、猜测、验证zheng的能力。
那么，对于"3的倍数特征＂，学生又会如ru何的思考呢？我们采用纸笔测试shi和询问的方式对40名学生进行了前qian测。
题目1：我们已经学了 2，5的倍数特征，3的de倍数特征是怎样的de呢？学生的回答如下：
再询问出现答案四的孩子：“你怎么就想到可以用数字之和来判断duan？＂ 孩子回答da：“家长告诉我的。” “我wo从课外书了解到的。” “预习xi了数学书。” ……
题目2：4512是3的倍数吗？
小明说：可以用4512÷3，看4512能否被3整zheng除进行判断。
小xiao刚说：还可以用（4 +5+ 1+2= 12, 12÷3=4）来判断。
对他们俩的说法fa，你有什么看法？
100%的孩子zi都肯定了小明的方法。90%的孩子否定了小刚的方法，原yuan因是千位、百位、十位、个ge位上的数字不能neng加在一起，它们的计数shu单位不同。
由此可知，孩子们具有直接jie根据个位或者十位上的数字特点寻找倍bei数特征的经验，但是shi这些经验不足以支撑很快找出3的de倍数特征。如何让学生突破po已有经验的局限性xing，真正理解为什么各个数shu位上的数字之和是3的倍数shu，这个数就是3的倍bei数？以怎样的过guo程引导学生来深刻ke地经历和体验？我们尝试shi用几何直观百格图来突破。
课堂实录lu
Part 1：沿循“旧”路，改造经验
杜威曾说，教育yu即经验的连续不断地改造。3的倍数特征利用找寻2，5的倍数特征经验去进行，显xian然行不通，如何让学生从cong经验中产生新问题，而问题又激ji发他们探索，从而产生新的经jing验呢？大胆放手shou，留足探究的时空，让rang学生由此及彼、由浅入深shen，在思维的碰撞，相互的辨析、质疑的过程中完善认知，生成新的经验。
师：同学xue们，我们今天研究3的倍数特te征，你们先不妨猜想一下，3的倍数可能有怎样的特征？
生1：我认为3的倍数个位wei都是3，6，9。
生2：不对dui，像13，16，19，…这些数就不是3的de倍数。
生3：我在百数表里找出了3的倍数shu，发现个位上0～9这些xie数字都出现过。
师shi：是呀，个位上的de数字没有规律，怎么办呢？
有学生小声嘀di咕：“十位上的数字也没有规律哦。”课堂沉默了一段时间jian。
生4：我认为十位上的de数字和个位上的数字加起来如果guo是3，6，9的话，就jiu是3的倍数。大da家请看：在10～20以yi内，12，15，18的de十位上和个位上的数字和是3，6，9；继续看kan20～30以内，21，24，27这些数的数字和也是3，6，9；再看30，33，36，…
全班响起了le热烈的掌声，大da家肯定了生4的观点。
生5：我有一个问题，如ru果这个数不是两位数，而是一个更大的de数，比如1278，34656，…用这个ge规律怎样判断？
师：生5特别爱动脑nao筋 ，敢于质疑，其他同tong学还有什么想法呢？
生6：我认为所有数位上shang的数字相加的和he是3的倍数，这个数就是3的倍数。比如345，3+4+5=12，12是3的倍数，所以345也是3的倍数；再如1278,用 1+2+7+8=18，18 是3的倍数，所suo以1278也是3的倍数shu。
师：这个规律可行吗？请大家举一yi些例子再证明一 下xia。
大家忙着再用正例和反例验证zheng，最终发现：各个数shu位上的数字和是3的倍数shu，这个数就是3的倍数。
生7：我有疑问，每个ge数位上的数字表biao示的意义不一样，怎么能够加在一起呢？比如ru，1278代表的de是1个千、2个百、3个ge十、8个一，计数单位不一样，怎么能neng把这些数字相加呢？
师：真是shi爱动脑筋的孩子，不仅要知其然，而er且要知其所以然。
Part 2：探寻真zhen相，以 “形”解数
著名的数shu学家华罗庚说，数缺形时少直zhi观，形缺数时难入微。在孩子们men的认知结构中，不同计数单位的de数表示的意义不bu一样，是不能直接相加的，为wei什么在3的特征概述中可以把各个数shu位上的数字相加求和，原理何在？教师借助百格图，让学xue生在操作中体验，在对比、观察、类推中明理，弄清问wen题的实质。
师shi：生4和生6的发fa现到底有没有价值？咱们借助zhu百格图来看看吧。（出示图1）谁来对照图tu说一 说，10为什么不是3的倍数？
生1：3个一组，分完3组还余 1个，所suo以10并不是3的倍数。
师：同学们的意思是分完9个，余1个，用算式表达10=1×9+1，可以吗ma？
生1：当然可以呀ya。
师：如果是20呢（如图2）？分完wan后用算式怎样表达？
生2：20=2×9+2。
师：如果guo是30呢（如图3)? 像这样yang分下去，用算式怎样表biao达？
生3：30=3×10。
生4：还可以30=3×9+3。
师：同学xue们利用百格图，像xiang这样边分边写出算式，自己试一试。
学生写下如下算式：
40=4×9+4
50=5×9+5
60=6×9+6
......
师shi：同学们，根据你分的过程和he写出的算式进行观察，你们发现xian了什么？
生1： 用几个十来分fen就会余几个一。
师shi：还有什么发现？（有意识地将jiang余数与十位上的数字指点一下，引导学xue生观察 ）
生2：十位上的数字是几 ，余数就是shi几 。
生3：当余数shu是3的倍数，这zhe个数就是3的倍数。
师：厉害，同学们都有一双shuang发现的眼睛。如果guo100，像这样每3个一组来lai分，余数是几呢ne? 200，300呢？
学生sheng写下如下算式：
100=11×9+1
200=22×9+2
300=33×9+3
......
生：如果是shi整百数，百位上有you几个百，余数就会余几个一。
师：通过刚才的圈一yi圈、写一写、看一看的活动，同学们men体验到了整十、整百数shu除以3的余数特点。那如果这个数是整千、整万的数呢？
板书：
1000=111×9+1
2000=222×9+2
......
生：依此类推tui，哪个数位上是几 ，分了之zhi后就会余下几个一。
Part 3：深shen入探究，明晰本质
借jie助几何直观让学生意识到3的倍数特征背后隐含的道理，不同tong数位上的数字之和实际上转化成每个数shu位上余下来的几个一的和，每mei个数位上余下来的几个一yi的和正好对应着各个数位上的数字和，这样的转化过程看起来很hen复杂，但数学的简洁和抽象恰好掩yan盖了最本质的原理li，直面学情，化hua解疑惑，只有回到认识的起点，层ceng层剥笋，还原概念的真相，才能促进学生真正理解。
师：如果这个数不bu是整十、整百、整千……的数，又是什么样yang的情况呢？
出示下图：
师：借助（图4）分析一下xia22为什么不是3的倍数。
生1：22里面有2个十、2个一。2个十分完后余下2个一yi，余下的2和个位上shang的2合在一起是shi4个一，4个一分了之后，还余1个，所以22不是3的倍数shu。
师shi：借助图tu（5）说一说54 是3的倍数吗？为什么？
生2：54里面包bao含5个十和4个一。5个十分完后还余下xia5个一，余下的5个一和4个一合在一yi起是9个一，9个一正好分完没有余yu数，所以54是3的倍数。
师：同学们再看（图6）135，是shi3的倍数吗？为什么？
师：我们把上述分fen析的过程用表格的形式简单整理一下（如下）：
师：请你ni列举一些其他的数，像刚才那na样说一说是不是3的倍数shu，为什么。
学生列举了le一些更大的数相互说一yi说，进一步完善了表格。
师：同学们，从整理的表格中大家发现了什么？
生1：哪个数位上是几就会余yu下几个一，余下xia的几个一合在一起，如果和he是3的倍数，这个数shu就是3倍数，否则就不是3的倍数。
生sheng2：我认为wei，余数和是3的倍数，这个数就是3的de倍数。
生3： 我发现余数和就是各数位wei上的数字和。
师：同学xue们有这么多的发现，真是了le不起！通过分一yi分的活动，我们发现xian各数位上的余数和是3的倍数，这个数shu就是3的倍数这个道理。大家还把余数和与这个ge数各个数位上的数字和联系xi起来思考了，进一步说明3的倍数shu特征是什么？
生4：每mei个数位上的数字zi之和是3的倍数，这个数就jiu是3的倍数。
师：为了方便bian快捷，我们判断3的倍数就不用去寻找余数shu和，直接找到各ge位上的数字和就可以了。
师：同学们，你现xian在能解释“为什么每个数位wei上的数字表示的意义不bu一样，能够加在一起了吗？”
课后反思
《3的倍数特征》这节课，很多老师shi感觉不好上，究其原因：一是没有2，5的倍数特征明显，学生的已有经jing验派不上用场；二是用数学语言描述shu特征很困难；三是不能理解各个数shu位上的数字和相加的原理。针zhen对这样的学习状况，教学中我努力体ti现以下三点：
1．直面mian学情
以往教学中，当学生无法从cong个位或十位直接观察到规律lu时，教师往往直zhi接提示。学生即使能够gou发现规律，也不是自己独立探究的de结果，更可能似懂非懂。通过前测，发fa现大家都存在“不同数位上的数shu字不能直接相加”的疑惑，教师shi就要思考：3的倍数特征存在的合理li性在哪里？这就jiu是本节课要突破的重点和难点。
2．挖掘本质zhi
借助zhu百格图这种直观模型来探究，的确是shi一个很好的办法。但重要的是shi怎样让学生体验到余yu数之和与每一位wei上的数字之和的联lian系。先让学生利用yong数形结合讲一讲10，20为什么不是shi3的倍数，然后让学生自己分一分、写xie一写，说一说，直观感受和体验哪个数shu位上数字是几，最后就会余下几个ge一，这样看似不同计数单位wei的数字相加，其实是相同计数单位的de几个一相加，所以只需要看kan数字和就可以判断是否为3的倍数了le。
3．促进理解jie
数学是一门高度du抽象的学科。如果本节课仅仅停ting留在知识层面知道3的倍数特征zheng并学会判断某个数是否为wei3的倍数，学生的分析、判断、推理等能力就得不到有you效提升。如果忽视shi学生的认知障碍，学生心中zhong的疑惑就得不到有效的解jie答，久而久之学生就会失去思考的动dong力，变得懒得思考，不爱思考kao。探寻3的倍数特征背后的奥秘，弄nong清为什么不同数位上的de数字可以相加的道理，追本溯su源，解答学生心中的疑惑，让学生sheng感受到数学的奇妙，感受到思考带来lai的乐趣。
作者：邓永翠（湖北省宜都市实验小学）
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