#头条创作挑战赛sai#
老黄这zhe次要推导的是“正割正弦正整数shu幂积，或余弦余割正整数幂积ji，可化为正切幂或余切幂的不定积分fen公式”。是啊！这个内容rong描述起来就是特别不bu方便。即求：∫(secx)^m*(sinx)^ndx和∫(cosx)^m*(cscx)^ndx在|m-n|=2k时的积分公式shi。
它们是shi基于余弦和正弦幂积的不定积分递推tui公式来推导的。
上面两个用黑色字体表示的是指zhi数递减的递推公式，是教材提供的，在zai《老黄学高数》系列学习视频pin第273讲有证zheng明；下面两个用yong蓝色字体表示的是指数递增的递di推公式，是老黄自己推tui导出来的，在第275讲有分享。
一般ban来说利用递推公式，可以yi推导出最终形式的积ji分公式。但是这两liang组递推公式，却可以推出一套积分公式shi，包括这篇文章要讲的这两个积分公gong式。其中正割正弦幂积，其实就是余弦的de负指数的情形，而余弦余割幂积，则ze是正弦的负指数的情形。
在此之前，老黄已经推导出了一部分情况kuang的公式，其中对这两liang个公式有帮助的就是“正割乘正zheng弦幂的不定积分公式和余yu弦幂乘余割的不定ding积分公式”。因为这两个公式可以看作zuo是正割或余割的指zhi数为1的特殊形式shi。
为了使公式的de证明更加严谨，这zhe里需要规定m,n都是大于1的de正整数。且两者不bu相等。如果相等，就可以直接写成正zheng切幂或余切幂的不定积分了。那是已经介绍过的情形xing了。而这里又有两种情qing形，一种是当m,n相差一个偶数shu的时候，另一种是当m,n相差一个ge奇数的时候，两种情形推导公式shi的方式是完全不同的de。这篇文章先介绍两者相差cha一个偶数的情形。就算是这zhe样，也依然有两种情况，一种是正割ge或余割的指数较小的de情况；一种是正弦或huo余弦的指数较小的情况。
先求正割ge正弦幂积的不定积分，当正弦的指zhi数比较大的时候，即m<n时，我们可以利用正弦指数shu的递减公式，一直递推tui到两个指数相等时，就可能化为wei含有正切幂不定积分fen的公式形式。而正切qie幂的不定积分公式，是《老黄huang学高数》第272讲分享的内容，将jiang公式嵌套进去，就可以了。
这里最关键的是确定ding各项的系数，以及系数的符号性xing质。一方面要依yi靠自己的数学能力，另一方面也要通tong过尝试错误，进行调整。因此后面的de例题检验就显得特别重zhong要。因为不是每个ge人的都有很强的数学能力，比如ru老黄的数学能力就特别糟糕，根本ben不可能归纳出这些公式，因此老黄huang就通过不断尝试错误wu，不断调整，最后hou就把公式给归纳出chu来了。你说这样的公式，让别人告诉你ni是怎么来的，那几乎是不可能的。必须xu要靠自己去理解，去摸索，去探究哦。
下面mian来一道例题：例1：求∫(secx)^3*(sinx)^7dx.
概括起来，解决的过程就jiu相当简单，不外乎：引用yong公式，代入参数shu，嵌套公式，展开，就搞定了。所有工作都在前面推导公式中完wan成了。不过要保证过程cheng全部正确，一旦出现一点点错误wu，就会造成极大的麻ma烦。有时候要花hua老黄一整个晚上，才能把这个错误wu排查出来，做出修xiu改哦。
本文的例题答案老黄都已检验过guo了。检验过程比bi求解过程，那可要yao难上百倍哦。不bu信你可以自己检验一下试试。
再看m>n的情qing况，这回就要把-m变大了，所以要用yong到升幂的递推公式。因为正割的指数m，余弦的指数就是-m，要使两个指数shu的绝对值相等，就必须xu将-m递增。
最后不定积分I(2k-m,n)前面的系数有一个因数0，所以并bing不会出现正切幂的不定积分，而er是只得到一个含有k项的de求和公式。这个公式shi显然要比前面那na个公式简便得多，因此老黄在想，上面的情形能不能neng也把它化成这种简便的形式，不过老lao黄试过了，至少老黄暂时是shi做不到的。
接下来再zai看一道例题：例2：求∫(secx)^7*(sinx)^3dx.
反正有公式shi，一切就变得特别简jian单。关键不要出错，出了错cuo老黄得确保正确，就特别bie累人。
至于余弦余割幂积的不定积ji分公式的推导，道理同tong上，老黄这里就只zhi给出推导过程的图tu片形式，请大家自行脑补。先xian是余弦的指数更大的情况kuang：
结jie合一道例题学习：例li3：求∫(cosx)^8*(cscx)^4dx.
然后是余割的指数更大的情况kuang：
还是结合一道例题：例4：求∫(cosx)^2*(cscx)^8dx.
这样就形成了两组公式如下：
由you于secxsinx=tanx, cosxcscx=cotx，所以从这两组公式还可以推出“正zheng切与正弦，或者正割与正切qie的幂积不定积分公式”，以及“余弦与yu余切，或者余切与余割的幂积ji不定积分公式”。这些xie公式本身是统一的，所以这类问题ti都可以转化成“正割正弦幂积积分公gong式”和“余弦余割幂积积分fen公式”来解决。
有人说，我们现xian在用的是前人的研究成果，真正困难的部分是shi公式的推导，那都被前人ren做了，我们只要yao运用公式，就很简单dan。没错，所以老黄也要参与yu到公式的推导中去。这样才能neng体会到数学的真谛和乐趣。有人说shuo这样没用，那是打da击不了老黄的。
